Considere uma tarefa de alcançar uma posicão constante \(s_d\) para o efetuador.

A função \(r(q) = \sin(2\pi\|s_e(q)-s_d\|^2)\) é uma função de tarefa? Justifique

Resposta

Sejam \(r_1(q)\) e \(r_2(q)\) funções de tarefa para uma mesma tarefa \(\mathcal{T}\), com o mesmo número de componentes.

Podemos afirmar que \(r_3(q) = r_1(q)+r_2(q)\) também é uma função de tarefa para \(\mathcal{T}\)? Justifique.

Resposta

Sejam \(r_1(q)\) e \(r_2(q)\) funções de tarefa para uma mesma tarefa \(\mathcal{T}\).

Podemos afirmar que \(r_3(q) = \|r_1(q)\|^2+\|r_2(q)\|^2\) também é uma função de tarefa para \(\mathcal{T}\)? Justifique

Resposta

Sejam \(Q(q)\) e \(Q_d\) matrizes de rotação que representam a orientação do efetuador e a orientação desejada para o efetuador.

A função

$$r(q) = \det(Q(q)-Q_d)$$

é uma função de tarefa? Justifique.

Dica: note que (i) \(Q(q)-Q_d = (Q(q)Q_d^T - I_{3 \times 3})Q_d\), (ii) \(\det(UV) = \det(U)\det(V)\) (se \(U,V\) são matrizes quadradas) e (iii) toda matriz de rotação tem autovalor 1.

Resposta

Sejam \(Q(q)\) e \(Q_d\) matrizes de rotação que representam a orientação do efetuador e a orientação desejada para o efetuador.

Seja \(\|\cdot\|_F\) a norma de Frobenius de uma matriz, ou seja, a raiz quadrada da soma do quadrado de seus elementos.

A função

$$r(q) = \|I_{3 \times 3} - Q(q)Q_d^T\|_F^2$$

é uma função de tarefa? Justifique.

Resposta

Calcule a Jacobiana de tarefa e o feedforward de tarefa para a função de tarefa de controlar a posição do efetuador:

$$r(q,t) = \|s_e(q)-s_d(t)\|^2.$$

Dica: use o fato que \(\|w\|^2 = w^Tw\) para um vetor coluna \(w\).

Resposta

Considere a função de tarefa \(r(q)=s_e(q)-s_d\) para alcançar uma posição constante.

Suponha que a dinâmica especificada \(\dot{r} = -Kr\) para um escalar positivo \(K\) seja perfeitamente satisfeita.

Mostre que o caminho que o robô fará no espaço de trabalho será uma linha reta entre a posição inicial e a desejada.

Resposta

Considere uma função de tarefa unidimensional não negativa, \(r(q) \in \mathbb{R}\), \(r(q) \geq 0\).

Considere que façamos a imposição da dinâmica \(\dot{r} = -K\sqrt{r}\) com \(K > 0\) para a função de tarefa , e que ela seja satisfeita perfeitamente.

Calcule como será a função \(r(q(t))\), e quanto tempo, em função de \(K\) e \(r_0 = r(q(0))\), haverá a convergência para \(r=0\).

Resposta

O controlador cinemático falha em algumas situações. Isso acontece quando especificamos a dinâmica \(\dot{r} = F(r)\) e chegamos em uma configuração \(q\) em que

$$J_r(q)^TF(r(q))=0_{n \times 1} \ \mbox{mas} \ r(q) \not= 0_{g \times 1}.$$

Nesse caso, o robô para sem ter alcançado a tarefa.

Considere o robô planar de duas juntas da Aula 3 (ver ao lado), com \(L_1=L_2=1m\), com a função de tarefa de posição \(r(q) = s_e(q)-s_d\), com \(F(r)=-Kr\), \(K=1 s^{-1}\) e \(s_d = (0 \ 0 \ 1)^T m\).

Calcule uma configuração \(q\) em que, se começarmos nela, o controlador falha.

Resposta