Seja \(Q(t)\) uma matriz de rotação parametrizada no tempo e diferenciável.

Podemos afirmar que \(\det(\dot{Q}(t)) = 0\) para todo \(t\)? Justifique.

Resposta

Suponha um corpo com velocidades lineares e angulares \(v(t), \omega(t)\) não nulas para todo \(t\).

Assuma também que \(v(t)\) e \(\omega(t)\) são vetores paralelos, para todo \(t\).

Podemos afirmar que, nessa situação, para todo tempo \(t\), existirá ao menos uma partícula \(P\) no corpo com velocidade nula (medida com relação ao referencial \(\mathcal{F}_0\))? Justifique.

Resposta

Considere um referencial móvel \(\mathcal{F}_{m}\). Seja \(z(t)\) e \(\omega(t)\) o eixo \(z\) do seu referencial e sua velocidade angular, ambas escritas com relação a um referencial fixo \(\mathcal{F}_0\).

Podemos afirmar que \(\frac{d}{dt}z(t)\) e \(\omega(t)\) são vetores ortogonais? Justifique.

Resposta

Seja \(A\) uma matriz antisimétrica genérica \(3 \times 3\).

Podemos afirmar que sempre existe um vetor tridimensional \(a\) tal que \(S(a)=A\)? Justifique.

Resposta

Podemos afirmar que para todo vetor tridimensional \(a\), existe um vetor não nulo \(b\) tal que \(S(a)b=0_{3 \times 1}\)? Justifique.

Resposta

Considere um corpo rígido. Seja \(P\) o centro do referencial \(\mathcal{F}_{obj}\) grudado no objeto.

Seja \(R\) o raio da menor esfera centrada em \(P\) que engloba todo o objeto. Note que esse valor de \(R\) será constante.

Prove que a velocidade escalar de qualquer partícula no tempo \(t\) não pode ultrapassar \(\|v(t)\|+R\|\omega(t)\|\), em que \(v(t)\) e \(\omega(t)\) são os vetores velocidade linear e angular do objeto (respectivos ao referencial \(\mathcal{F}_{obj}\)).

Resposta

(a) Calcule os vetores velocidade linear e angular da terra (com relação ao referencial grudado no seu centro e medidos no referencial \(\mathcal{F}_0\)) do Exercício 7 de Representação Espacial .

(b) Calcule os vetores velocidade linear e angular do brinquedo (com relação ao referencial grudado no seu centro e medidos no referencial \(\mathcal{F}_0\)) do Exercício 11 de Representação Espacial.

Note que os cálculos estarão em função dos respectivos parâmetros e do tempo \(t\).

Resposta

Calcule a Jacobiana Geométrica para o robô ao lado, do Exercício 1 de Cinemática Direta.

Resposta

Calcule a Jacobiana Geométrica para o robô ao lado, do Exercício 2 de Cinemática Direta.

Resposta

Podemos afirmar que em um robô com apenas juntas lineares a matriz \(J_\omega(q)\) é nula? Justifique.

Resposta

O vetor aceleração angular \(\alpha\) é a derivada temporal do vetor velocidade angular, \(\alpha = \dot{\omega}\).

Dito isso, podemos afirmar que, em um determinado instante de tempo \(t\), o efetuador do robô pode ter aceleração angular \(\alpha(t)\) não-nula tendo uma aceleração de juntas \(\ddot{q}(t)\) nula? Justifique.

Resposta

Sejam \(\xi_{d1}, \xi_{d2} \in \mathbb{R}^6\) velocidade desejadas para o efetuador. Suponha que em uma dada configuração \(q\) é possível encontrar velocidade de juntas \(\dot{q}_1\) e \(\dot{q}_2\) que realizam essa velocidades, respectivamente.

Podemos então afirmar que, para essa mesma configuração \(q\), existe uma velocidade de junta \(\dot{q}_3\) que realize a velocidade \(\xi_{d3} = \xi_{d1}+\xi_{d2}\)? Justifique.

Resposta

(a) Use o UAIBot para descobrir se a configuração

$$q = (0 \ \ 1{,}57 \ \ 0{,}1 \ \ 0{,}1 \ \ 0{,}1 \ \ 0)^T \ rad$$

do robô Staubli TX60 é singular (use a função Robot.create_staubli_tx60 para criá-lo).

Use a função numpy.linalg.eig do Numpy, que calcula autovalores, para calcular os valores singulares. Considere um valor singular como nulo se ele for menor que \(10^{-5}\).

(b) Se ela não for singular, use o UAIBot para descobrir qual deve ser a velocidade de junta nessa configuração que faça o efetuador ter uma velocidade de 1m/s em \(z_0\) e todas as outras componentes de velocidade 0.

Resposta

(a) Use o UAIBot para calcular qual é a velocidade \(\xi\) do efetuador na configuração inicial do robô Epson T6 quando apenas a primeira junta roda com velocidade de 1 rad/s (use a função Robot.create_epson_t6 para criá-lo).

(b) Verifique se o resultado faz sentido.

Resposta

Um erro comum para iniciantes em robótica é o seguinte: seja \(\phi(t) = (\gamma(t) \ \beta(t) \ \alpha(t))^T \in \mathbb{R}^{3 \times 1}\) os ângulos de Euler do efetuador que se move (ângulos x, y e z, respectivamente). Então, é comum achar que \(\frac{d}{dt}\phi(t) = \omega(t)\).

Isso não é verdade, no geral (só em casos muito específicos)! Mostre isso utilizando o UAIBot .

Faça algum robô fazer algum movimento de juntas. Calcule \(\omega(t)\) e \(\frac{d}{dt}\phi(t)\) (use a função Utils.euler_angles). Mostre que eventualmente eles serão diferentes.

Resposta