Quantos graus de liberdade são necessários para representar um corpo rígido no plano?

Resposta

Um robô com elos rígidos é um corpo rígido? Justifique?

Resposta

Considere um corpo rígido movendo-se no espaço. Sejam \(A\) e \(B\) duas partículas do corpo e \(p^A_0(t), p^B_0(t)\) suas posições ao longo do tempo com relação a um referencial fixo \(\mathcal{F}_0\). Podemos afirmar que \(\frac{d}{dt} \|p^A_0(t)-p^B_0(t)\| = 0\) para todo \(t\)? Justifique.

Resposta

Considere três corpos rígidos independentes movendo no espaço tridimensional. Qual é o número mínimo de informações que preciso para rastrear a posição de todas as partículas desse sistema no tempo?

Resposta

Mostre que a inversa da MTH:

$$H = \left(\begin{array}{cc} Q & s \\ 0_{1 \times 3} & 1 \end{array}\right)$$

é a outra MTH:

$$H^{-1} = \left(\begin{array}{cc} Q^T & -Q^Ts \\ 0_{1 \times 3} & 1 \end{array}\right).$$

Resposta

Considere que temos as MTHs do referencial \(\mathcal{F}_0\) para o da câmera, e do objeto para a câmera:

$$H_0^{cam} = \LARGE{\Bigg(}\normalsize{}\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\LARGE{\Bigg)}\normalsize{} \ , \ H_{obj}^{cam} = \LARGE{\Bigg(}\normalsize{}\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 &-3\\1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\LARGE{\Bigg)}\normalsize{}.$$

(a) Calcule a transformação de \(\mathcal{F}_0\) para o dado, \(H_0^{obj}\).

(b) Esboce como estarão a câmera e o dado no desenho.

Resposta

Considere a imagem ao lado, que mostra o movimento da terra em torno do sol. Ele é composto por dois movimentos: a rotação em torno do sol com frequência angular \(\omega_A\) e uma rotação em torno de si mesmo (de seu próprio eixo \(z\)) de frequência angular \(\omega_D\). \(d_S\) é a distância do centro do sol até o centro da terra.

Calcule a MTH do referência do sol, \(\mathcal{F}_0\), para o referencial da terra, \(\mathcal{F}_T\), em função dos parâmetros \(\omega_A, \omega_D, d_S\) e do tempo \(t\). Assuma que em \(t=0\) os dois eixos \(x\) estão alinhados.

Cuidado: a velocidade final de rotação da terra em torno dela mesmo deve ser exatamente \(\omega_D\). Verifique que é o caso quando terminar de construir a MTH.

Resposta

Seja \(A\) uma matriz antisimétrica \((A^T=-A)\) e \(\epsilon\) um número tão pequeno de modo que podemos considerar \(\epsilon^2 = 0\). Podemos dizer que \(Q = I_{3 \times 3}+\epsilon A\) é uma matriz de rotação? Justifique.

Resposta

Sejam \(Q_1\) e \(Q_2\) matrizes de rotação no mesmo eixo.

(a) Podemos afirmar que \(Q_1Q_2=Q_2Q_1\)? Justifique.

(b) Como podemos interpretar a rotação \(Q_1Q_2\) (com relação as originais \(Q_1\) e \(Q_2\))?

Resposta

Podemos afirmar que para toda matriz de rotação \(Q\) existe um vetor não nulo \(r\) tal que \(Qr = r\)? Justifique.

Resposta

Calcule a MTH do referencial \(\mathcal{F}_0\) para or referencial do objeto, em função dos parâmetros (\(\omega_0, d_0, \omega_1, d_1\)) e do tempo \(t\).

Assuma que, quando \(t=0\), os eixos \(x\)'s dos dois referenciais estão alinhados.

Resposta

Considere dois referenciais \(\mathcal{F}_A\) e \(\mathcal{F}_B\), com a transformação \(T_A^B\) entre eles.

Considere um ponto \(P\) cuja descrição em \(\mathcal{F}_B\) seja o vetor coluna \(p_B\). Como podemos encontrar a sua descrição \(p_A\) em \(\mathcal{F}_A\)?

Resposta

Considere um corpo rígido se movendo no espaço. A MTH de um referencial fixo \(\mathcal{F}_0\) para o referencial do objeto é \(H_0^{obj}(t) = R_z(2t)D_x(1)R_x(\pi/2)\).

Considere uma partícula \(P\) no objeto cujas coordenadas no referencial do objeto é a (constante) \(p^P_{obj} = (0 \ 1 \ 0)^T\). Calcule as coordenadas da partícula no referencial \(\mathcal{F}_0\) no tempo \(t\): \(p^P_0(t)\).

Resposta

Considere um drone que tem em si montado um manipulador. Há um referencial \(\mathcal{F}_d\) grudado no drone, um referencial \(\mathcal{F}_e\) grudado no efetuador do manipulador e um referencial fixo \(\mathcal{F}_0\).

Sabendo que em um determinado instante de tempo \(T_0^e = R_z(30^o)D_x(2m)\) e \(T_d^e = R_y(90^o)D_z(1m)\), qual seria o valor da transformação \(T_d^0\) entre o drone e o referencial fixo?

Resposta