Objetivo: descrever o movimento do robô.

Nossos manipuladores são formados por corpos rígidos (os elos) conectados sequencialmente. Descrevendo o movimento deles, descrevemos o movimento do robô.

Corpos rígidos são objetos que não podem ser deformados, quebrados ou grudados.

Como descrever o movimento desses objetos?

No ensino médio, aprendemos a fazer a descrição de movimento de uma partícula no espaço tridimensional.

Para isso, dado um referencial \(\mathcal{F}_0\), fornecemos a todo instante de tempo \(t\) as coordenadas \(x(t)\), \(y(t)\) e \(z(t)\) da partícula em \(\mathcal{F}_0\).

Note que em uma partícula a rotação é irrelevante (suas dimensões são desprezíveis, ou seja, não tem volume).

O movimento de corpos rígidos pode ser descrito "grudando" um referencial no objeto e descrevendo o movimento (translação + rotação) desse referencial. Será necessário fornecer mais informação que \(x(t)\), \(y(t)\) e \(z(t)\).

Posição + orientação = pose do objeto.

Objetivo: descrever o movimento do efetuador do robô, um corpo rígido.

Como o único movimento do robô é utilizando suas juntas, há de existir um mapeamento matemático entre a posição atual das juntas (variáveis no tempo) e os parâmetros estruturais do robô (fixos) na descrição matemática da pose do efetuador com relação a um referencial \(\mathcal{F}_0\).

Seja \(q\) um vetor com a posição de todas as juntas e \(T\) a descrição do efetuador em \(\mathcal{F}_0\), então deve existir uma função matemática \(f\) tal que \(T = f(q)\).

A função \(f\) é chamada de cinemática direta do efetuador;

Permite calcular onde o efetuador está em função das juntas móveis, cuja posição está no vetor \(q\).

A cinemática inversa resolve o problema contrário: dado uma pose \(T\), qual é o valor das juntas \(q\) tal que \(T=f(q)\)?

Os dois problemas são importantes, pois controlaremos a posição das juntas \(q\) objetivando fazer com que o efetuador alcance uma determinada pose \(T\). As duas funções fazem as duas ligações possíveis entre essas duas quantias.

Objetivo: descrever o movimento do efetuador do robô, um corpo rígido.

As cinemáticas diretas e inversas mapeiam posições (das juntas) em "posições" do efetuador (no caso de um corpo rígido, por "posição" entenda "pose").

Em controle, isso não é o suficiente. Precisamos relacionar velocidades também.

Um corpo rígido tem dois vetores velocidades, ambos vetores tridimensionais:

• A velocidade linear, \(v\)
  
• A velocidade angular, \(\omega\)
  

O objetivo da cinemática diferencial é o seguinte: dado que em um instante de tempo a posição das juntas é \(q\) e a velocidade instantânea das juntas é \(\dot{q}\), determine o valor de \(v\) e \(w\) naquele mesmo instante de tempo.

Portanto, existem funções \(g_v\) e \(g_{\omega}\) tal que \(v=g_v(q,\dot{q})\) e \(\omega=g_{\omega}(q,\dot{q})\).

Objetivo: controlar as juntas do robô para atingir uma determinada pose no efetuador.

Aqui faremos uma hipótese (muito razoável) sobre o robô: que ele tem uma interface de programação que nos permite enviar, a cada ciclo de controle, a velocidade de cada junta desejada para o robô, aqui chamada de \(u\).

Assumimos que ele segue perfeitamente esse comando enviado. Portanto, consideramos um sistema de controle em que a variável manipulada \(u\) é a velocidade da juntas desejada e a variável de processo \(q\) é a posição das juntas. O modelo que relaciona as duas é $$\dot{q} = u.$$

O objetivo então é, dada uma pose desejada para o efetuador \(T_{des}\), criar um controlador (algoritmo) utilizando a posição das juntas atual \(q\) (portanto em malha fechada) que garanta que o efetuador sairá da sua pose inicial (qualquer seja ela) e chegue na pose desejada:

É chamado de controle cinemático pois abstrai a dinâmica do sistema, isso é, as forças/torques que agem no robô, e as massas/momentos de inércia envolvidas.

O controlador usa a cinemática direta e a cinemática diferencial para calcular a ação de controle.

Controle, no geral, não linear pois a função \(h(q)\) é, no geral, não linear.

Objetivo: controlar as juntas do robô para atingir uma determinada pose no efetuador, mas agora sem considerar que o robô tem uma interface de controle de alto nível de velocidade. Atuaremos diretamente no torque dos motores que movem as juntas.

Portanto, agora não mais estamos falando de cinemática, mas sim de dinâmica, uma vez que as forças/torques que agem no robô e as massas/momentos de inércia de seus corpos rígidos são relevantes.

Temos portanto que aprender a escrever as equações de dinâmica do sistema, ou seja, uma equação diferencial que relaciona a evolução da posição e a velocidade de todas as partículas do robô dados os parâmetros do sistema (como as massas e momentos de inércia) com as forças (que podem ser variáveis).

Como o movimento de todas as partículas do robô é uma consequência somente ao movimento das juntas (pois são corpos rígidos) e assumindo que a única força que age no sistema são os torques em cada motor, \(\tau\), desejamos obter a equação diferencial $$\ddot{q} = F(q,\dot{q},\tau)$$ que relaciona essas quantias.

Aplicar as Leis de Newton em cada uma das (infinitas) partículas que formam o robô não é factível. Felizmente, há várias maneiras de contornar esse problema...

Objetivo: controlar as juntas do robô para atingir uma determinada pose no efetuador, mas agora sem considerar que o robô tem uma interface de controle de alto nível de velocidade. Atuaremos diretamente no torque dos motores que movem as juntas.

Utilizando o modelo dinâmico do robô, \(\ddot{q}=F(q,\dot{q})\), podemos projetar uma lei de controle $$\tau = h(q, \dot{q})$$ utilizando a posição e a velocidade das juntas para alcançar uma pose desejada \(T_{des}\).

Aqui assumimos que as únicas forças que agem no robô vêm dos motores, e portanto são completamente controláveis. Portanto, não haverá força externa (como contato do robô com o ambiente).

Uma das maneiras de projetar o controle dinâmico é começando a partir do controle cinemático.

Controle, no geral, não linear pois a função \(h(q,\dot{q})\) é, no geral, não linear.

Q: Qual a vantagem do controle dinâmico sobre o cinemático?
R: Com ele podemos implementar certos tipos de tarefas que não seriam possíveis usando controle cinemático. Em especial, ele serve como base para o controle de força (que não veremos neste curso), onde consideramos forças externas agindo no robô. Tal controle é necessário quando temos tarefas em que o robô deve fazer uma força controlada no ambiente.

Se não quiser usar IDEs no Desktop, você pode usar a plataforma colaborativa online Google Colab, deixando tudo no navegador.

No Google Colab, rode o comando para instalar o UAIBot

!git clone https://github.com/viniciusmgn/uaibot_vinicius.git
!pip install uaibot_vinicius/
                        

Note que isso precisa ser feito sempre que você reiniciar o Google Colab.

No Google Colab não é necessário usar a função "save". As simulações já são mostradas no próprio navegador. Ao rodar o código abaixo, a simulação já será mostrada automaticamente:

import uaibot as ub

sim = ub.Demo.control_demo_1()